Demonstração do Teorema de Pitágoras

O teorema de pitágoras é um teorema de imensa importância dentro da matemática. Ele é usado desde medições simples com triângulos até o cálculo em anos-luz da distância entre o nosso planeta e algumas estrelas.

Dentro da matemática não basta apenas se afirmar que algo é verdade mas tem-se que demonstrar que o que se afirma é realmente válido para todo um conjunto matemático, pois enquanto não se demonstra, não podemos dizer que é um teorema e sim uma conjectura.

Nessa breve demonstração tenho o objetivo de demonstrar como que o Teorema de Pitágoras é válido para todos os triângulos retângulos, independente do valor de seus lados.

A demonstração que se segue é baseada na demonstração que se encontra no livro O último Teorema de Fermat de Simon Singh no Apêndice 1;

Vamos lá então. Suponhamos a imagem abaixo:



Nesta imagem primeiramente combinamos quatro triângulos idênticos de lados X, Y e Z de modo a formar um quadrado com outro quadrado menor inscrito. Os lados do quadrado maior valem X + Y e os lados do quadrado menor valem Z.

Se eu quisesse calcular a área do quadrado maior como eu deveria fazer ?

Bem sabemos que o valor da área de um quadrado é l² (lado elevado ao quadrado) então se eu quisesse calcular a área do quadrado grande eu poderia faze-lo assim:

(X + Y)²

Outra maneira de calcular essa área poderia ser calculando as áreas dos quatro triângulos formados dentro do quadrado maior, mais a área do quadrado menor. Sendo assim:

4 * (X*Y)/2 + Z²

Portanto essas duas maneiras calculam a mesma área que é a área do quadrado maior. Portanto os seu resultados são iguais:

(X + Y)² = 4 * (X*Y)/2 + Z²

Agora é só usar a álgebra. Desenvolvendo o quadrado perfeito do lado esquerdo e simplificando o 4 com o 2 do lado direito temos:

X² + 2*X*Y + Y² = 2*X*Y + Z²

O termo 2*X*Y está dos dois lados da igualdade, então podemos cancela-lo, e a equação final seria:

X² + Y² = Z²

Este é o famoso Teorema de Pitágoras, e fica provado que em qualquer triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.


Como usamos X, Y e Z para os lados do triângulo, vemos que não foram especificados valores para esses lados portanto pode-se dizer que para qualquer que seja os valores dos lados o Teorema é verdadeiro se o triângulo for retângulo.